우선 2차원 평면위의 한 점을 표현하는 방법을 알아보자.
점은 크게 직교좌표계 방식과 극좌표계 방식을 사용하여 표현할 수 있다.
직교좌표계는 (x, y)와 같이 좌표로 표현하는 것을 말하고,
극좌표계는 (r, Θ)와 같이 길이와 각도로 표현하는 것을 말한다.
그럼 우선 임의의 점 P를 (x, y) 또는 (r, Θ)이라고 하자.
이 점 P를 임의의 각 α만큼 회전 시킨 후의 점 P`를 표현해보자.
직교좌표계에는 각도라는 의미가 없으므로 표현하기 어렵다.
하지만 극좌표계로는 P`(r, Θ+α)와 같이 매우 쉽게 표현할 수 있다.
이렇게 구한 극좌표계의 P`를 삼각함수를 이용하면 직교좌표계로 쉽게 변형할 수 있다.
P`.x = r*cos(Θ+α)
P`.y = r*sin(Θ+α)
위의 식을 다시 삼각항등식을 이용해 나열하면 다음과 같이 표현이 된다.
P`.x = r*cosΘ*cosα - r*sinΘ*sinα
P`.y = r*sinΘ*cosα + r*cosΘ*sinα
위의 식에서 r*cosΘ는 P.x이고, r*sinΘ는 P.y이므로 아래와 같이 식을 변형할 수 있다.
P`.x = P.x*cosα - P.y*sinα
P`.y = P.y*cosα + P.x*sinα
즉, 이를 일반화 시키면 점(x, y)를 α만큼 회전시킨 점(x`, y`)는 다음과 같이 표현이 된다.
x` = x*cosα - y*sinα
y` = x*sinα + y*cosα